Θεωρία Κινδύνου Ι

Κωδικός μαθήματος: ΣΑΘΚΙ12

Σκοπός του μαθήματος (Aims)

• Η κατανόηση της χρήσης των μοντέλων συλλογικού και ατομικού κινδύνου που χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση των συνολικών ζημιών, απαιτήσεων ή και αποζημιώσεων σε χαρτοφυλάκια κινδύνου ζημιών.
• Η κατανόηση μαθηματικών και πιθανοθεωρητικών μεθόδων-εργαλείων που χρησιμοποιούνται για τη διαχείριση κινδύνων στην ασφάλιση.
• Η ανάπτυξη ικανοτήτων για τον υπολογισμό της κατανομής των συνολικών ζημιών σε χαρτοφυλάκια κινδύνων.
• Η κατανόηση των βασικών ασφαλιστικών και αντασφαλιστικών σχημάτων για τη μερική κάλυψη κινδύνων και η ανάπτυξη μεθόδων για τον υπολογισμό της κατανομής των συνολικών αποζημιώσεων και των αντίστοιχων αντασφαλίστρων.

Μαθησιακά αποτελέσματα (Learning Outcomes)

Μετά την ολοκλήρωση του μαθήματος, ο φοιτητής/η φοιτήτρια θα είναι σε θέση:

• Να κατανοεί την έννοια και τις μαθηματικές υποθέσεις των αθροισμάτων ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών και να υπολογίζει την κατανομή πεπερασμένων αθροισμάτων ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είτε μέσω γεννητριών συναρτήσεων (ροπογεννητριών, πιθανογεννητριών, μετασχηματισμών Laplace) είτε μέσω συνελίξεων.
• Να ορίζει και να ερμηνεύει τα μοντέλα συλλογικού κινδύνου και να μπορεί να υπολογίζει την κατανομή των συνολικών απαιτήσεων χαρτοφυλακίων κινδύνων μέσω συνελίξεων, καθώς και τις γεννήτριες συναρτήσεις και τις ροπές (μέση τιμή, διακύμανση) των συνολικών απαιτήσεων.
• Να ορίζει και να ερμηνεύει τα μοντέλα κινδύνου για σύνθετες γεωμετρικές και σύνθετες αρνητικές διωνυμικές κατανομές καθώς και για σύνθετες περικομμένες ή και τροποποιημένες στο μηδέν γεωμετρικές και αρνητικές διωνυμικές κατανομές. να υπολογίζει τις γεννήτριες συναρτήσεις των συνολικών απαιτήσεων και τα μέτρα θέσης και διακύμανσης, και να υπολογίζει την κατανομή των συνολικών απαιτήσεων όταν τα ύψη ατομικής ζημιάς ανήκουν στη ρητή οικογένεια κατανομών (εκθετικές κατανομές, κατανομές Erlang και μίξεις αυτών των κατανομών).
• Να ορίζει και να ερμηνεύει τα μοντέλα κινδύνου σύνθετων Poisson κατανομών, να υπολογίζει την κατανομή των συνολικών απαιτήσεων μέσω συνελίξεων και των μέτρων θέσης και διακύμανσης, να εφαρμόζει διάφορες τεχνικές υπολογισμού (αναδρομική μέθοδος, εναλλακτική μέθοδος) της κατανομής των συνολικών απαιτήσεων για διακριτά ύψη ατομικών ζημιών, να εφαρμόζει ως μοντέλα κινδύνων τα αθροίσματα ανεξάρτητων σύνθετων Poisson τυχαίων μεταβλητών και να μπορεί να υπολογίζει την κατανομή τους.
• Να χρησιμοποιεί την εξίσωση του Panjer όταν ο αριθμός των κινδύνων ανήκει στην οικογένεια κατανομών R (a,b,0). Να χρησιμοποιεί την αναδρομική σχέση του Panjer για τον υπολογισμό της συνάρτησης πιθανότητας των συνολικών απαιτήσεων του χαρτοφυλακίου όταν το πλήθος κινδύνων ακολουθεί τις κατανομές: Poisson, διωνυμική, γεωμετρική και αρνητική διωνυμική. Επίσης να μπορεί να χρησιμοποεί αναδρομικές σχέσεις υπολογισμού των συνολικών απαιτήσεων του χαρτοφυλακίου όταν ο αριθμός των κινδύνων ανήκει στην οικογένεια κατανομών R (a,b,1).
• Να κατανοεί τον μαθηματικό μηχανισμό της αντασφάλισης και της μερικής κάλυψης των κινδύνων, όπως επίσης τις καλύψεις excess-of-loss και stop-loss. Να υπολογίζει τις κατανομές των αποζημιώσεων του πρωτασφαλιστή και του αντασφαλιστή για τις παραπάνω καλύψεις. Να υπολογίζει τα ασφάλιστρα τέτοιων καλύψεων. Να κατανοεί και να ερμηνεύει ασφαλιστικά σχήματα μερικών καλύψεων των κινδύνων υπό την ύπαρξη ορίου και αφαιρετέας απαλλαγής, και υπό την ύπαρξη μέγιστη καλυπτόμενης ζημίας και αφαιρετέας απαλλαγής. Να ερμηνεύει τις τροποποιήσεις της έκθεσης στον κίνδυνο και τις τροποποιήσεις στις καλύψεις των ζημιών.

Περιεχόμενα μαθήματος (Syllabus)

• Εφαρμογές θεωρίας πιθανοτήτων σε αναλογιστικά μοντέλα κινδύνων: Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων: Γεννήτριες συναρτήσεις συνεχών και διακριτών κατανομών (ροπογεννήτριες συναρτήσεις, πιθανογεννήτριες συναρτήσεις, μετασχηματισμοί Laplace). Συνελίξεις συναρτήσεων και τυχαίων μεταβλητών. Εύρεση της κατανομής του αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών. Το θεώρημα της διπλής μέσης τιμής. Δεσμευμένη διακύμανση.
• Μοντέλο συλλογικού κινδύνου: Ορισμός του μοντέλου. Υπολογισμός της κατανομής των συνολικών ζημιών (μέσω συνελίξεων). Γεννήτριες συναρτήσεις και ροπές των συνολικών ζημιών για το μοντέλο συλλογικού κινδύνου. Σύνθετες κατανομές.
• Αναλυτικά αποτελέσματα υπολογισμού σύνθετων κατανομών: Εύρεση της κατανομής των συνολικών ζημιών όταν τα ύψη ατομικών ζημιών ακολουθούν τη Γάμμα κατανομή. Σύνθετες κατανομές Bernoulli και μικτού τύπου τυχαίες μεταβλητές. Μοντέλα συλλογικού κινδύνου για: μικτές σύνθετες γεωμετρικές κατανομές, σύνθετες γεωμετρικές κατανομές, σύνθετες τροποποιημένες και περικομμένες στο μηδέν γεωμετρικές κατανομές, σύνθετες αρνητικές διωνυμικές κατανομές.
• Το μοντέλο κινδύνου της σύνθετης Poisson: Υπολογισμός της κατανομής των συνολικών ζημιών (μέσω συνελίξεων). Αναδρομική μέθοδος υπολογισμού της κατανομής των συνολικών ζημιών. Μοντέλα συλλογικού κινδύνου για αθροίσματα ανεξάρτητων σύνθετων Poisson τυχαίων μεταβλητών. Ταξινόμηση των μεγεθών ατομικών ζημιών. Η εναλλακτική μέθοδος υπολογισμού της κατανομής των συνολικών ζημιών. Προσεγγίσεις των συνολικών ζημιών μέσω της κανονικής κατανομής.
• Αναδρομικές μέθοδοι υπολογισμού σύνθετων κατανομών: Η κλάση κατανομών R (a,b,0) του Panjer για το πλήθος των ζημιών. Αναδρομικοί τύποι υπολογισμού της συνάρτησης πιθανότητας και της συνάρτησης δεξιάς ουράς για τα μοντέλα συλλογικού κινδύνου των: σύνθετων διωνυμικών κατανομών, των σύνθετων Poisson, των σύνθετων γεωμετρικών και σύνθετων αρνητικών διωνυμικών κατανομών. Η κλάση κατανομών R (a,b,1). Αναδρομικοί τύποι υπολογισμού της συνάρτησης πιθανότητας και της συνάρτησης δεξιάς ουράς για τα μοντέλα συλλογικού κινδύνου των περικομμένων και τροποποιημένων στο μηδέν για τα παραπάνω μοντέλα σύνθετων κατανομών. Πολλαπλές ζημιές και μοντέλα συλλογικού κινδύνου με σύνθετες κατανομές για το πλήθος των ζημιών.
• Μερικές καλύψεις κινδύνων / Ασφαλιστικά σχήματα και αντασφάλιση: Αφαιρετέα ποσά (συνήθεις αφαιρετέες απαλλαγές), όρια, προνομιακές απαλλαγές. Αντασφάλιση και ασφάλιση υπερβάλλοντος ζημίας (excess-of-loss). Η ιδία κράτηση και η εκχώρηση του πρωτασφαλιστή (ασφαλισμένου). Η κατανομή των αποζημιώσεων του πρωτασφαλιστή και του αντασφαλιστή. Άλλες ασφαλιστικές τροποποιήσεις: ύπαρξη ορίου και αφαιρετέας απαλλαγής, μέγιστη καλυπτόμενη ζημιά και αφαιρετέα απαλλαγή. Τροποποιήσεις της έκθεσης στον κίνδυνο και τροποποιήσεις στις καλύψεις των ζημιών.
• Συνολικές αποζημιώσεις για μερικές καλύψεις: Συνολικές αποζημιώσεις για καλύψεις υπερβάλλοντος ζημίας, κατανομή των συνολικών αποζημιώσεων του αντασφαλιστή. Συνολικές αποζημιώσεις για καλύψεις ανακοπής ζημίας (stop-loss). Αντασφάλιση και ασφάλιση ανακοπής ζημίας. Η κατανομή των συνολικών αποζημιώσεων του πρωτασφαλιστή και του αντασφαλιστή. Το περιθώριο ασφάλειας υπό ανατασφάλιση.
• Μοντέλα ατομικού κινδύνου: Το μοντέλο ατομικού κινδύνου ασφάλισης ζωής. Συνολικές απαιτήσεις του χαρτοφυλακίου. Ταξινόμηση συμβολαίων σε κλάσεις κινδύνων. Κατανομή των συνολικών απαιτήσεων. Αναδρομικές μέθοδοι των De Pril και Waldmann. Το γενικό μοντέλο ατομικού κινδύνου. Συνελίξεις σύνθετων Bernoulli τυχαίων μεταβλητών. Αναδρομικές μέθοδοι υπολογισμού της κατανομής των συνολικών απαιτήσεων. Σχέση μοντέλου ατομικού κινδύνου και μοντέλου συλλογικού κινδύνου. Προσεγγίσεις μοντέλων ατομικού κινδύνου μέσω μοντέλων συλλογικού κινδύνου. Προσεγγίσεις μέσω σύνθετων Poisson, σύνθετων διωνυμικών και σύνθετων αρνητικών διωνυμικών κατανομών.
• Υπολογισμός ασφαλίστρων και μέτρα κινδύνου: Βασικές αρχές υπολογισμού ασφαλίστρων. Συνεπή μέτρα κινδύνου. Το μέτρο κινδύνου: της αξίας σε κίνδυνο (Value-at-Risk), της αναμενόμενης υπό συνθήκη δεξιάς ουράς (Conditional-Tail-Expectation), της αξίας σε κίνδυνο της ουράς (Tail-Value-at-Risk), της υπό συνθήκη αξίας σε κίνδυνο (Conditional-Value-at-Risk), του αναμενόμενου ελλείμματος (Expected Shortfall). Ο μετασχηματισμός αναλογικής επικινδυνότητας. Μέτρα κινδύνου στρέβλωσης στην ασφάλιση. Το μέτρο κινδύνου κανονικού μετασχηματισμού.

Ενδεικτική βιβλιογραφία

• Ε. Χατζηκωνσταντινίδης (2018). Θεωρία Κινδύνου Ι. Πανεπιστημιακές Σημειώσεις.
• Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones & Cesil J. Nesbitt (1997). Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, Schaumburg, Illinois.
• David C.M. Dickson (2005). Insurance Risk and Ruin. International Series on Actuarial Science.
• Harry H. Panjer, Gordon E. Willmot (1992). Insurance Risk Models. Society of Actuaries.
• Stuart A. Klugman, Harry H. Panjer, Gordon E. Willmot (2019). Loss Models: from Data to Decisions, 5th edition, Wiley.
• Roger J. Gray, Suzan M. Pitts (2012). Risk Modelling in General Insurance: From Principles to Practice. International Series in Actuarial Science.